Category Archives: Logikk

Strange Loop — from Wolfram MathWorld

A strange loop is a phenomenon in which, whenever movement is made upwards or downwards through the levels of some hierarchical system, the system unexpectedly arrives back where it started. Hofstadter (1989) uses the strange loop as a paradigm in which to interpret paradoxes in logic (such as Grelling’s paradox, the liar’s paradox, and Russell’s paradox) and calls a system in which a strange loop appears a tangled hierarchy.

Canon 5 from Bach’s Musical Offering (sometimes known as Bach’s endlessly rising canon) is a musical piece that continues to rise in key, modulating through the entire chromatic scale until it ends in the same key in which it began. This is the first example cited by Hofstadter (1989) as a strange loop.

Via Strange Loop — from Wolfram MathWorld.

Gödel’s Incompleteness | Good Math, Bad Math

The folly!
The folly!

Gödels inkompletthetsteoremer og implikasjonane av dei er noko som har fascinert (og tidvis skremt) meg heilt sidan fysste gongen eg las “Gödel, Escher, Bach“. Tolkninga av desse teorema kan skrivast i ein kortversjon som at gitt eit formelt system med tilstrekkelig uttrykkskraft, så er systemet enten inkomplett eller inkonsistent.

Det Gödel viste oss i praksis var at i slike formelle system vil du alltid kunne konstruere utsagn som er sanne men som ikkje kan bevisast i systemet sjølv, og som dermed gjer systemet inkomplett. Ein kan tilføre eit aksiom som gjer systemet komplett, men dette aksiomet er dømt til å medføre ein eller fleire sjølvmotsigelsar i systemet og vil dermed gjere systemet inkonsistent. So i beste fall kan eit formelt system være enten komplett eller konsistent — men ikkje begge deler.

Vanleg naturlig språk blir såvidt eg veit ikkje vanligvis definert som eit formelt system, sjølv om naturlig språk og formelle språk har mykje til felles, som f.eks symbol/alfabet, struktur/syntaks, og semantikk. Naturlige språk har dog nokre dimensjonar eller “lag” som formelle språk ikkje har, som f.eks metaforar. Men trass dette so kan ein konstruere slike ubeviselige utsagn i vanleg språk som har tette knytningar til kompletthet og konsistens. For eksempel denne slageren (kjent som løgnarparadokset) :

Denne setninga er usann

Eller meir sofistikert:

Den neste setninga er sann. Den forrige setninga er usann.

Eller for å dra det enda litt lenger:

Pinocchio seier: No vil nasa mi vekse

Det sistnevnte er også kjent som Pinocchio’s “famous last words”, ytra rett før han imploderte (;
Og for å virkelig miste nattesøvnen:

Den neste setninga er usann. Den neste setninga er usann. Den første setninga er usann.

Uansett, poenget med dette innlegget er at bloggen Good Math, Bad Math har tatt på seg oppgåva å gå gjennom heile Gödels drøyt 50 sider lange bevis som synte Alfred North Whitehead og Bertrand Russel kvar skapet skulle stå gjennom å bevise at Principa Mathematica (og alle framtidige forsøk på noko liknande) var inkomplett. Au!

Det første innlegget startar her: Gödel’s Incompleteness | Good Math, Bad Math. Alle som veit å sette pris på rekursjon og sjølvreferanse i språk, logikk, programmering, musikk og liknande vil antakelig oppleve at dette (og kringliggande tema) er både djupt fascinerande og djupt urovekkande på same tid.